por
D. JAIME BALMES,
PRESBÍTERO
TOMO IV.
Segunda edicion.
Barcelona:
IMPRENTA DE A. BRUSI.
Calle de las Libreterías n.º 4.
1848.
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Es propiedad del Autor.
{5}
LIBRO OCTAVO.
LO INFINITO.
CAPÍTULO I.
OJEADA SOBRE EL ESTADO ACTUAL DE LA FILOSOFÍA.
[1.] En las obras de filosofía trascendental publicadasde algunos años á esta parte, se emplean con muchafrecuencia las palabras infinito, absoluto, indeterminado,incondicional, haciéndolas representar un gran papel en laexplicacion de los mas recónditos arcanos que ofrecersepuedan á la consideracion del hombre. Con ellas se combinanlas de finito, relativo determinado, condicional; y de estacombinacion se pretende que ha de surgir el rayo de luz que disipelas tinieblas de las regiones filosóficas.
[2.] A pesar del mal uso que muchos hacen de semejantespalabras, preciso es confesar, que es consolador el hecho indicadopor el mismo prurito de emplearlas. Este hecho es un esfuerzo del{6}espíritu humano para levantarse del polvo en que le hundierala impía escuela del pasado siglo.
[3.] ¿Qué era el mundo á los ojos de losfalsos filósofos que precedieron á la revolucionfrancesa?
un conjunto de materia, sujeta á movimiento porsimples leyes mecánicas, cuya explicacion estaba dadapronunciando: ciega necesidad. ¿Qué era elespíritu humano? nada mas que materia.
¿Quéera el pensamiento? una modificacion de la materia. ¿Enqué se diferenciaba la materia pensante de la no pensante?En un poco mas ó menos de sutileza, en una disposicion deátomos mas ó menos feliz. ¿Qué era lamoral? una ilusion. ¿Qué eran los sentimientos? unfenómeno de la materia. ¿Cuál era elorígen del hombre? el de la materia; de un fenómenoofrecido por una porcion de moléculas, que ahora se hallanen una disposicion y luego en otra muy diferente.
¿Hablabaisde un destino mas allá del sepulcro? Se os contestaba conuna desdeñosa sonrisa.
¿Pronunciabais la palabrareligion? El desden aumentaba, se convertia en desprecio.¿Recordabais la dignidad humana? Sí, se os otorgabaesta dignidad, con tal que os consideraseis como una graduacion masperfecta, mas nó de distinta naturaleza, de los demásanimales. No se os negaba que vuestra figura fuese mas noble ygalana que la del mono; no se os disputaba la superioridad de lainteligencia; pero debiais guardaros de pretender ni áorígen ni á destino mas elevados. El curso de lossiglos podia desarrollar {7} y perfeccionar las formas del mono,é igualarlas con las vuestras; podia desarrollar yperfeccionar su masa cerebral de tal suerte que de losdescendientes de ese mono que os divierte con sus movimientosextravagantes y sus actitudes ridículas, nacieran hombrescomo Platon, san Agustin, Leibnitz ó Bossuet.
[4.] Con semejante sistema, inútil era pensar en ideas;no habia mas que sensaciones: cuanto se agita en la mente delhombre, desde el mas imbécil, hasta el genio mas poderoso,no era mas que una sensacion trasformada. Los elementos de lahumana inteligencia eran absolutamente los mismos de que dispone elbruto; pensar no era mas que sentir mejor. Tal era el últimotérmino del análisis, tal el resultado de la masdelicada observacion, tal la solucion que á los problemasdel entendimiento del hombre encontrara la mas profundafilosofía. Platon, Aristóteles, san Agustin, santoTomás, Descartes, Malebranche, Leibnitz, no eran mas quesoñadores sublimes, cuyo genio contrastaba con su ignoranciade la verdadera naturaleza de las cosas. Todos ellos no sabian nadaen materia de ideología y metafísica: estas cienciaseran un mundo desconocido, hasta que vinieron á descubrirloLocke y Condillac.
[5.] Esa escuela tan funesta como frívola, habia envueltoel espíritu en la materia, y le habia ahogado. La mariposano podia desplegar sus leves alas, de lindos y variados colores;era preciso
{8} que se despojase de ellas, y que seconvirtiese en gusano torpe é inmundo, enredado en unaenvoltura, tan inmunda y torpe como él. En esto consistia elprogreso. El límite de la perfeccion ideológica eranegar las ideas; el de los estudios metafísicos, negar losespíritus; el de los morales, negar la moral; el de lossociales, negar el poder; el de los políticos, establecer lalicencia; el de los religiosos, negar á Dios. Asímarchaba la razon humana en una direccion retrógrada,creyendo avanzar; así pensaba levantar el edificio de susconocimientos, cuando no hacia mas que demoler; así queriallegar á un resultado científico, negando cuantoencontraba al paso, y negándose por fin á símisma.
[6.] En la actualidad, hay una verdadera reaccion contrafilosofía tan degradante; basta abrir los escritos de losfilósofos de este siglo para convencerse de esta verdadconsoladora. En todas partes se encuentra la palabra idea,contrapuesta á la de sensacion; la de espíritu,á la de materia; la de actividad del pensamiento, ála de movimiento corpóreo; las de causa, órden,libertad de albedrío, moral, infinidad. Las ideas que lasacompañan son á veces inexactas, á vecesmonstruosas; pero en el fondo se ve un afan por salir del abismo enque sumiera al espíritu humano una filosofía atea ymaterialista. Algunos filósofos que han contribuido ála reaccion no admiten un Dios inteligente y libre, distinto deluniverso; es verdad, y por esto he dicho mas arriba que el{9}panteismo era un ateismo disfrazado; pero al menos el ateismo delos panteistas de la época, es un ateismo que seavergüenza de confesarse tal, que algunas veces procuraquizás engañarse á sí propio,persuadiéndose que no lo es.
[7.] El ateismo de los modernos filósofos se aviene conlo infinito; no rechaza esas grandes ideas que vagaban por el mundoantiguo, como restos de una tradicion primitiva, y que luego fueronfijadas, aclaradas y elevadas por la superior enseñanza delcristianismo. La filosofía del siglo pasado se habia sentadoen las tinieblas y sombras de la muerte, y se declaraba ásí propia en posesion de la luz y de la vida. Lafilosofía actual está todavía en la oscuridad,pero no se contenta con ella; anda á tientas en busca de unasalida á las regiones de la luz. De aquí esosesfuerzos desesperados por fijarse, nó en la materia, sinoen el foco de la inteligencia, en el yo, es decir en elespíritu; de aquí ese continuo empleo de laspalabras, absoluto, incondicional, infinito; palabras que si bienlas mas veces solo la conducen á un absurdo, indican sinembargo una aspiracion sublime.
[8.] Estas observaciones manifiestan, que no confundo lafilosofía actual con la del siglo pasado; que no consideroel panteismo de ahora, como un materialismo puro; y que ápesar del ateismo de que acuso la doctrina de algunosfilósofos, no desconozco que en medio de su extravíoconservan una especie de horror hácia él, y{10} perdidos en el laberinto de susespeculaciones buscan el hilo que los conduzca á las puertasde la verdad.
[9.] Esta justicia que les hago gustoso á los modernosfilósofos, no impedirá que combata sus pretensionesá un mérito que no tienen. Ellos se apellidan losrestauradores de la espiritualidad del alma, y de la libertadhumana; y cuando hablan de Dios, poco falta si no le exigen untributo de gratitud por haber restaurado su trono. Antes deostentar pretensiones tan orgullosas, debieran considerar quedistan mucho todavía de la verdad con respecto á Diosy al hombre, no solo tal como la ha enseñado en todostiempos el cristianismo, sino como la han profesado los masilustres filósofos modernos. Quieren apellidarserestauradores, pero su restauracion es con sobrada frecuencia, unanueva revolucion, á veces tan terrible como la que tratan decombatir.
[10.] Hay otra consideracion que debiera moderarlos cuando sequieren dar el aire de inventores, y es, que al hablar de Dios, delespíritu humano, del pensamiento, de las ideas, de lalibertad de albedrío, nada bueno dicen que no se halle entodas las obras de los filósofos que florecieron antes delsiglo XVIII, y aun á principios de él. Abrid loslibros de texto de las escuelas, y en ellos encontraréismuchas de las cosas que ahora se os presentan cual descubrimientosimportantes. Los grandes filósofos se glorian de saber, loque antes aprendian los niños. La tradicion {11}filosófica de las sanas ideas no se interrumpiódurante el siglo pasado; en muchos puntos de Europa se conservabanescuelas que los enseñaban con escrupulosa fidelidad. Yá mas de las escuelas humanas habia la del Hombre-Dios, laIglesia de Jesucristo, que entre sus dogmas sobrenaturalesconservaba tambien las verdades naturales, que esfuerzos insensatosse empeñaban en hacer olvidar.
[11.] ¿A qué se reducen pues la invencion y larestauracion? Invencion con respecto á Dios, alespíritu humano, y á la moral, no la hay; todo lo quese diga de verdad, estaba dicho ya.
Restauracion tampoco la haypropiamente hablando; no se restaura lo que no pereció. Laverdad existia; y conocida y atacada por los siete mil que nohabian doblado la rodilla ante Baal; cuando los tránsfugasvuelven y se acercan al número escogido, que no digan querestauran, digan que recobran; no dan, reciben; no iluminan almundo, son ciegos á quienes la bondad de la Providencia lesabre los ojos á la luz. {12}
CAPÍTULO II.
IMPORTANCIA Y ANOMALÍA DE LAS CUESTIONES SOBRE LA IDEADE
LO INFINITO.
[12.] El exámen de la idea de lo infinito es un objeto dela mayor importancia. A mas de que la encontramos en variasciencias, inclusas las exactas, encierra uno de los principalescaractéres en que distinguimos á Dios de lascriaturas. Un Dios finito no seria Dios; una criatura infinita noseria criatura.
En la escala de los seres finitos notamos una gradacion, por lacual se eslabonan los unos con los otros: los menos perfectos,á medida que se perfeccionan, van acercándoseá los perfectos; y salvos los límites de lanaturaleza de cada uno, hay puntos de comparacion que nos sirvenpara medir las distancias respectivas. Entre lo finito y loinfinito, no hay comparacion; todas las medidas son insuficientes,desaparecen: pasamos de la gota imperceptible á lainmensidad del océano; del átomo que se escapaá toda observacion, al piélago de materia difundidapor los espacios; y por mucho que esos tránsitos expresen,son nada para representar la idea de lo infinito: estosocéanos comparados con la infinidad verdadera, se conviertená su vez en nuevas gotas imperceptibles, y asírecorre el espíritu una escala {13}interminable, en busca de algo que pueda corresponder á suidea. El exámen de la idea de lo infinito, aunque no tuviesemas objeto que la contemplacion del grandor de la misma, deberiaocupar un puesto preferente en los estudios filosóficos.
[13.] Al fijar la consideracion en las disputas sobre la idea delo infinito, relativas no solo á la naturaleza de ella, sinotambien á su misma existencia, échase de ver unaextraña anomalía. Si existe en nuestro entendimiento,parece que deberia llenarlo todo; y que ha de ser imposible eldejar de experimentarla. No obstante es bien sabido que losfilósofos disputan hasta sobre la existencia de esta idea,de suerte que siendo ella un tesoro infinito, los que le poseendudan de su realidad: á la manera de los antiguos caballerosque hallándose en un soberbio castillo adornado con granriqueza y esplendor, dudaban de si lo que estaban presenciando erarealmente un castillo ó una ilusión producida por unhechicero.
[14.] La simple disputa sobre si la idea de lo infinito espositiva ó negativa, equivale tambien á la cuestionde su existencia. Si es negativa, expresa una falta de ser: si espositiva, significa una plenitud del ser; ¿puede acasoentablarse disputa mas vital para una idea que la de buscar sirepresenta la falta ó la plenitud de una cosa?
[15.] Hénos aquí pues con el hecho que hemosnotado ya en las discusiones anteriores: la razon tocando ásus cimientos, y como amenazada de {14} encontrar la muerte entrelas ruinas de los mas altos edificios que encuentra en sípropia.
CAPÍTULO III.
SI TENEMOS IDEA DE LO INFINITO.
[16.] ¿Tenemos alguna idea de lo infinito? Parece quesí; de lo contrario la palabra infinito nosignificaria nada para nosotros; y al emplearla, no nosentenderíamos recíprocamente, como nosentendemos.
[17.] Sea lo que fuere de la naturaleza y perfeccion de nuestraidea de lo infinito, es cierto que envuelve algo fijo, comuná todas las inteligencias. Fácilmente podemosobservar que esta idea la aplicamos á cosas deórdenes muy diferentes; y que la significacion en cada caso,es una misma para todos los hombres. Hasta las dificultades que nosabruman al querer explicarla en sí, y en sus aplicaciones,dimanan de ella misma; y á todos nos confunden igualmente,porque todos concebimos de un mismo modo, lo que se entiende porinfinito, tomado en general.
[18.] Infinito é indefinido expresan cosas muy diversas.Infinito significa carencia de límites; indefinido significaque los límites se retiran continuamente; {15} seprescinde de la existencia de los mismos, y solo se dice que no selos puede asignar.
[19.] Todo cuanto existe es ó finito ó infinito:pues que, ó tiene límites ó no los tiene; enel primer caso, es finito, en el segundo, infinito: no hay medioentre el sí y el nó.
[20.] Por donde se echa de ver que propiamente hablando, no hayen la realidad nada indefinido: esta palabra expresa una manera deconcebir, ó mas bien una vaguedad en el concepto, óuna indecision en el juicio. Cuando no conocemos los límitesde una cosa, y por otra parte no nos atrevemos á afirmar suinfinidad, la llamamos indefinida. Así han dicho que eraindefinido el espacio, los que no han visto medio deseñalarle un límite, y consideraban que no eraconveniente apellidarle infinito. Hasta en el lenguaje comun sellama indefinido, lo que no tiene señalados loslímites: así se dice «se ha concedido taló cual cosa por un tiempo indefinido» aunque este, conciertas condiciones, haya de ser limitado en alguna épocaque no se determina.
[21.] La idea de la infinidad no consiste en concebir queá una cantidad dada se le pueda siempre añadir otra;ó que á una perfeccion se la pueda hacer mas intensa:esto no expresa mas que la posibilidad de una serie de conceptoscon la que procuramos acercarnos á la idea absoluta de loinfinito. Que esta idea absoluta es algo distinto de aquellosconceptos, se ve claro en que {16} la miramos como un tipo alcual referimos la serie, y al que no podemos igualarla por mas quela prolonguemos.
[22.] Notemos el lenguaje con que naturalmente expresamos lo quepasa en nuestro interior al pensar en lo infinito.
Qué es una línea infinita?
Una línea que no tiene límites.
¿Será de un millon, de un billon de varas?
No se puede expresar su longitud con ningun número;será siempre mayor.
A medida que prolongamos una línea finita, ¿nosacercamos á la infinita?
Cierto, en cuanto acercarse significa poner cantidadesque se encuentran en aquello á que nos acercamos; peronó que esta diferencia pueda asignarse. No hay comparacion,entre lo finito y lo infinito; y por consiguiente, no es dableasignar la diferencia.
Sumando todas las líneas finitas, ¿se formaria unainfinita?
Nó: porque en esta adicion es concebible lamultiplicacion de cada uno de los sumandos; y por tanto, un aumentoen lo infinito, lo que es absurdo.
La infinidad de la línea, ¿consistirá enque no conozcamos sus límites, ó no pensemos enellos?
Nó: sino en que no los tenga.
[23.] Por este diálogo, que está al alcance de lasinteligencias mas comunes, y que no expresa mas de lo que diriacualquiera persona de una {17} comprension regular, aunque no sehubiese ocupado nunca en estudios filosóficos, se echa dever que la idea de lo infinito se halla en nuestro entendimiento,como un tipo constante, al cual no pueden llegar todas lasrepresentaciones finitas.
Conocemos las condiciones que se han dellenar, pero vemos la impotencia de llenarlas: cuando se nos quierepersuadir que esto se ha conseguido, reflexionamos sobre la idea delo infinito: y decimos: «nó; todavía nó;esto es contradictorio con la infinidad; esto no es infinito, sinofinito.»
Distinguimos perfectamente, entre la falta de lapercepcion del límite, y su no existencia: si se quiere queconfundamos estas dos cosas, respondemos: «nó; nodeben confundirse: hay mucha diferencia entre el no concebir unobjeto, y su no existencia: no se trata de que nosotros concibamosó nó el límite; sino de que exista ónó.» Por mas que se retire un límite,ocultándose por decirlo así á nuestros ojos,no nos engañamos: existe ó nó: si existe, noestá cumplida la condicion encerrada en el concepto de lainfinidad; el objeto no es infinito, sino finito; si no existe, hayinfinidad verdadera: la condicion está cumplida.
[24.] Mientras la idea de lo infinito es considerada en general,no se puede confundir nunca con la de lo finito; hay entre las dosuna línea divisoria, que no nos permite equivocarnos, puesque está tirada por el mismo principio de contradiccion: setrata de distinguir entre el sí y el {18} nó: con decir finito, se afirma ellímite, con decir infinito, se niega: no caben ideasmas claras y precisas.
CAPÍTULO IV.
EL LÍMITE.
[25.] Infinito parece expresar una negacion, puesto que equivaleá no finito. Pero las negaciones no siempre sonverdaderamente tales, aunque así lo indiquen las palabras:porque, si aquello que se niega es una negacion, el resultado esuna afirmacion. Por esto suele decirse que dos negaciones afirman.Si alguno dice: no ha llovido; y otro contesta que no es verdad,niega la negacion del otro, pues que negar la proposicion: no hallovido, es lo mismo que decir ha llovido, esto es, afirmar lalluvia. Así para conocer si la palabra infinito significauna verdadera negacion, es necesario saber qué se entiendepor la palabra finito.
[26.] Finito es lo que tiene límite. Límite es eltérmino mas allá del cual no hay nada del objetolimitado. Los límites de una línea son los puntos masallá de los cuales la línea no se extiende; ellímite de un número es el extremo mas allá delcual no se extiende el número; el límite {19} de losconocimientos de un hombre es el punto á donde llegan, y delcual no pasan.
Siendo el límite, negacion; negar ellímite es negar la negacion, y de consiguiente afirmar.
[27.] Por estos ejemplos se echa de ver que el límitetomado en el sentido vulgar, expresa una idea algo distinta dellímite definido por los matemáticos. Estos llamanlímite á toda expresion finita, infinita ónula, á la cual se puede acercar continuamente una cantidad,sin que jamás pueda alcanzarla. Así el valor 0/a esel límite del decremento de un quebrado, cuyo numerador esvariable x/a; porque, suponiendo que x va menguando continuamente,el quebrado se acercará á la expresion 0/a, sin quejamás pueda llegar á confundirse con ella, mientrasla cantidad x no se desvanezca del todo. Si suponemos (b+x)/a dondela x vaya decreciendo, la expresion se acercarácontinuamente á esta otra (b+0)/a = b/a, la cual seráel límite del quebrado. Suponiendo la expresion a/x y que xva menguando, nos acercaremos continuamente a la expresion a/0 =∞, valor infinito á que el quebrado no llegaránunca mientras x no se convierta en 0, lo que jamáspodrá verificarse, habiendo de ser x una verdadera cantidad.Con estos ejemplos se ve por qué los matemáticosadmiten límites finitos, infinitos, y nulos. Ademásse manifiesta tambien como en estos casos se toma la palabralímite, en un sentido {20} diferente del vulgar, que estambien el filosófico.
[28.] Límite pues, expresa una verdadera negacion; yasí la palabra finito ó limitado envuelve pornecesidad una negacion. No se limita lo que no es; porconsiguiente, lo finito no puede ser una negacion absoluta. Estaseria la nada, y la nada no se llama finita. Luego en la idea definito entran dos: 1.o ser,2.o negacion de otro ser. Unalínea de un pié envuelve dos cosas: el valor positivode un pié, y la negacion de todos los otros valores fueradel de un pié. Luego lo finito en cuanto finito, envuelveuna negacion referida á un ser. Si pudiésemosexpresar en abstracto esta idea usando del término finidad,así como tenemos el de infinidad, diríamos que lafinidad en sí, nada expresa, sino la negacion de serreferida á un ser.
[29.] De esto se infiere que la palabra infinito no es negativa;pues que con ella se niega una negacion; infinito es lo no finito,esto es lo que no tiene carencia de ser; y por consiguiente lo queposee todo el ser.
[30.] Tenemos pues alguna idea de lo infinito, y esta no es unapura negacion; sin embargo no se crea que con esto hemos llegado alúltimo término del análisis de la idea de loinfinito. Mucho nos falta que andar, y despues de largasinvestigaciones es dudoso que obtengamos un resultadosatisfactorio. {21}
CAPÍTULO V.
CONSIDERACIONES SOBRE LA APLICACION DE LA IDEA DE LO
INFINITOÁ LA CANTIDAD CONTINUA, Y Á LA DISCRETA EN CUANTO
SEEXPRESA EN SERIES.
[31.] Una de las propiedades características de la ideade lo infinito es su aplicacion á órdenes muydiferentes. Esto da lugar á importantes consideraciones quecontribuyen no poco á la aclaracion de dicha idea.
[32.] Desde el punto en que me encuentro, tiro una líneaen la direccion del norte, y es evidente que puedo prolongarlahasta lo infinito. Dicha línea es mayor que otra cualquierafinita; ninguna de estas puede ser tan larga como ella; porquesiendo finita, tendrá un valor determinado, por lo cual sila superpongo á la infinita, solo llegará hasta uncierto punto, y no pasará de allí. Parece pues queesta línea es infinita en toda la propiedad de la palabra;porque no habiendo medio entre lo finito é infinito, y nosiendo ella finita pues que acabamos de demostrar que es mayor quetodas las finitas, habrá de ser infinita.
La demostracion anterior parece que nada deja que desear; noobstante, hay tambien en contra de la infinidad de dichalínea una razon concluyente. Lo infinito carece delímites, y esta {22} línea los tiene, pues quepartiendo del punto desde el cual se la tira, hácia elnorte, no se extiende en la direccion del sud.
[33.] Esta línea es mayor que todas las finitas; pero esdable encontrar otra mayor que ella. Si la suponemos prolongada enla direccion del sud, la que resulte de ella mas la prolongacion,será mas larga; y si en la direccion del sud se la prolongahasta lo infinito, el resultado será una línea doblede la primera.
[34.] Con la prolongacion de una línea hasta lo infinitoen las dos direcciones opuestas, parece que resulta unalínea absolutamente infinita. A primera vista no se concibeque pueda haber un valor lineal mayor que el de una rectaprolongada hasta lo infinito, en direcciones opuestas; sin embargono es así; y considerando que al lado de esta recta se puedatirar otra, finita ó infinita, y que la suma de las dosformará un valor lineal mayor que la primera, tenemos queesta no era infinita; puesto que es dable encontrar otras mayoresque ella. Y como por otra parte es evidente que se pueden tirarinfinitas líneas prolongadas hasta lo infinito, resulta queninguna de ellas forma un valor lineal infinito, puesto que no esmas que una parte de la suma lineal que resulta del conjunto de laslíneas que se pueden tirar.
[35.] Reflexionando sobre esta contradiccion que pareceencontrarse en nuestras ideas, se descubre que la idea de infinitoes indeterminada, {23} y por tanto susceptible de aplicacionesdiferentes. Así en el caso que nos ocupa, no puede dudarsede que la recta prolongada hasta lo infinito tiene algunainfinidad, pues que es cierto que carece de límite en susrespectivas direcciones.
[36.] Este ejemplo hace conjeturar que la idea de infinito nonos representa nada absoluto; pues que aun en los objetos que masclaros se ofrecen á nuestro espíritu, cuales son losde la intuicion sensible, encontramos bajo un aspecto la infinidad,que por otro vemos contrariada.
[37.] Lo que hemos observado en los valores lineales, seextiende tambien á los numéricos expresados enseries. En las matemáticas se habla de las series infinitas;pero si bien se reflexiona no hay ninguna que merezca este nombre.Sea la serie a, b, c, d, e,.... se la llamará infinita, sisus términos continúan hasta lo infinito. No puedenegarse que hay infinidad bajo un aspecto, porque falta ellímite que ponga fin á la serie en un sentido; peroes evidente que el número de sus términos noserá jamás infinito, pues que hay otros mayores; cualseria por ejemplo, si al continuar la serie de izquierda áderecha la continuásemos al mismo tiempo de derecha áizquierda en esta forma
...., e, d, c, b | a, b, c, d, e,....
en cuyo caso es evidente que el número de lostérminos seria duplo del primero.
Luego las series llamadas infinitas no lo son ni pueden serlo,hablando con rigor. {24}
[38.] Pero lo curioso es que la infinidad no se encuentra en laserie, ni aun suponiéndola prolongada en direccionesopuestas; porque si á su lado imaginamos otra, es evidenteque la suma de los términos de las dos, será mayorque la de una de ellas; de donde resultará que ningunaserá infinita. Y como es evidente que sean cuales fueren lasseries, siempre se pueden imaginar otras, resulta demostrado que nopuede haber una serie infinita en el sentido que losmatemáticos toman la palabra serie; esto es, por unacontinuacion de términos; no excluyendo la posibilidad deotras continuaciones, á mas de la supuesta infinita.
[39.] Las dificultades contra la infinidad lineal, se extiendená la de superficie. Suponiendo un plano infinito, esevidente que se pueden tirar infinitos planos distintos delprimero, y que le corten en infinita variedad de ángulos: lasuma de estas superficies será mayor que una cualquiera deellas. Luego la prolongacion infinita de un plano en todasdirecciones, no constituye una verdadera superficie infinita.
[40.] Un sólido dilatado en todas direcciones pareceinfinito; pero si se reflexiona que en la idea matemáticadel sólido no entra la de impenetrabilidad; se veráque dentro de un sólido infinito, se puede colocar otro,cuyo volúmen sumado con el del primero, dará un valorduplo de este. Sea E
un espacio puro y vacío, queimaginaremos infinito; sea M, un mundo de igual {25} extensionque se coloca en él, y le llena; es evidente que E+M,será mayor que E. Luego aunque supongamos á Einfinito igual á ∞; tendremos que siendo M tambienigual á ∞, resultará E+M = ∞ + ∞ =2 ∞. Y
como este valor expresa el volúmen; el primerono será infinito, porque se puede duplicar. Si se prescindede la impenetrabilidad, la operacion puede repetirse hasta loinfinito; luego, el primer infinito, lejos de merecer este nombreparece una cantidad susceptible de incrementos infinitos.
CAPÍTULO VI.
ORÍGEN DE LA VAGUEDAD Y APARENTES CONTRADICCIONES EN
LAAPLICACION DE LA IDEA DE LO INFINITO.
[41.] Las dificultades que se ofrecen al aplicar la idea de lainfinidad, parecen probar que dicha idea ó no existe paranosotros, ó es muy confusa; pero estas mismas dificultadestambien indican por otra parte, que la poseemos, y muy perfecta.¿Por qué descubrimos que no son infinitos losnúmeros que á primera vista nos lo parecian?¿por qué negamos la infinidad de ciertas dimensiones,no obstante su infinita prolongacion en un sentido? porqueexaminando bien dichos objetos, hallamos que no corresponden altipo de la {26} infinidad. Si este